Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆上的动点，的面积的最大值为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点的直线l与椭圆E相交于C、D两点，求的最大值．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据几何关系，可得关系式，解方程即可求得；

（2）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理将数量积进行转化，构造函数求最值.

（1）由已知：，得：．

因为，所以，

又，

故.

，，

从而E的方程为：；

（2）①当直线l的斜率为0时，

A、C、D三点共线、；

②当直线l的斜率不为0时，

设，，直线l的方程为，

将代入，

整理得，

则，，

又，，

故

．（当时）

故当直线方程为时，取得最大值．