Question

已知函数.

（1）若函数在上是增函数，求正数的取值范围；

（2）当时，设函数的图象与x轴的交点为，，曲线在，两点处的切线斜率分别为，，求证：+.

Answer

（1）； （2）见解析.

【解析】

（1）由题意，求得函数的导数，设，分离参数转化为在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性，得到函数的最值，即可得到实数的取值范围；

（2）由，得，，不妨设，利用导数求得两点的斜率，得到+ ，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可作出证明.

（1） ，∴，

设，

函数在上是增函数，∴ 在上恒成立，即在上恒成立，

设，则，

，∴，∴在上是增函数，

∴，由在上恒成立，得， ，

∴，即的取值范围是.

（2） ，由，得，，不妨设.

，，， + ，

设，则，时，，时，，所以为的极大值点，所以的极大值即最大值为，即，

∵且，∴且，

∴，∴+ .