Question

在平面直角坐标系xOy中，点P(x₀，y₀)在曲线y＝x²(x＞0)上．已知A(0，－1)，，n∈N*．记直线AP_n的斜率为k_n．

（1）若k₁＝2，求P₁的坐标；

（2）若k₁为偶数，求证：k_n为偶数．

Answer

（1）(1，1)（2）详见解析

【解析】

试题（1）由两点间斜率公式得，解方程得P1的坐标（2）先求出kn＝，再利用k1为偶数表示x0，设k1＝2p(pN*)，则x0＝p±．最后利用二项式展开定理证明kn为偶数

试题解析：【解析】
（1）因为k1＝2，所以，

解得x0＝1，y0＝1，所以P1的坐标为(1，1)．

（2）设k1＝2p(pN*)，即，

所以－2px0＋1＝0，所以x0＝p±．

因为y0＝x02，所以kn＝

所以当x0＝p＋时，

kn＝(p＋)n＋()n＝(p＋)n＋(p－)n．

同理，当 x0＝p－时，kn＝(p＋)n＋(p－)n．

①当n＝2m(mN*)时， kn＝2，所以kn为偶数．

②当n＝2m＋1(mN)时，kn＝2，所以kn为偶数．

综上， kn为偶数．