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如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy2=0，抛物线C：y2=2px（...

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）.

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：线段PQ的中点坐标为；

②求p的取值范围.

 

（1）；（2）①证明见解析;②. 【解析】 （1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：，解出p的取值范围. （1）抛物线的焦点为 由点在直线上，得，即 所以抛物线C的方程为 （2）设，线段PQ的中点 因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ， 于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为 ①由消去得 因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以 从而，化简得. 方程（*）的两根为，从而 因为在直线上，所以 因此，线段PQ的中点坐标为 ②因为在直线上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范围为
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