Question

已知抛物线，过点的动直线交抛物线于，两点

（1）当恰为的中点时，求直线的方程；

（2）抛物线上是否存在一个定点，使得以弦为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）利用点差可求，从而得到直线的方程.

（2）设，设，，，联立直线方程和抛物线方程后消元可得，利用及韦达定理可以得到恒成立，故求得.

（1）设，两点坐标分别为，，当恰为的中点时，

显然，故，又，故

则直线的方程为

（2）假设存在定点，设，当直线斜率存在时，设，，，联立

整理得，，，，

由以弦为直径的圆恒过点知，

即

即

故，即

整理得

即当时，恒有，故存在定点满足题意；

当直线斜率不存在时，，不妨令，，，也满足

综上所述，存在定点，使得以弦为直径的圆恒过点