Question

已知函数.（其中为自然对数的底数）

（1）若恒成立，求的最大值；

（2）设，若存在唯一的零点，且对满足条件的不等式恒成立，求实数的取值集合.

Answer

（1）；（2）．

【解析】

（1）就三种情况利用导数讨论的单调性及其相应的最小值后可得：时，成立，时，成立，对后一种情况构建新函数，利用导数可求的最大值即可.

（2）求出，它是一个减函数且值域，故存在唯一的零点，再由题设条件可以得到，，用表示后可把不等式化为，构建新函数，就两类情况利用导数讨论函数的单调性后可得实数的取值，注意后者的进一步讨论以与的大小为分类标准.

（1），

当时，，在上单调递增，取，

当时，矛盾；

当时，，

只要，即，此时；

当时，令，，

所以在单调递增，在单调递减，

，

所以，即，

此时，

令，，

令，，

当，，在上为增函数；

当，，在上为减函数．

所以，所以，故的最大值为．

（2）在单调递减且在的值域为，

设的唯一的零点为，则，，

即

所以，，

由恒成立，则，

得在上恒成立．

令，，

．

若，，在上为增函数，注意到，知当时，，矛盾；

当时，，为增函数，

若，则当时，，，为减函数，

所以时，总有，矛盾；

若，则当时，，，为增函数，

所以时，总有，矛盾；

所以即，此时当时，，为增函数，，

当时，，为减函数，而，

所以有唯一的零点.

综上，的取值集合为 ．