Question

如图，C、D是离心率为的椭圆的左、右顶点，、是该椭圆的左、右焦点， A、B是直线4上两个动点，连接AD和BD，它们分别与椭圆交于点E、F两点，且线段EF恰好过椭圆的左焦点. 当时，点E恰为线段AD的中点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆始终与直线EF相切．

Answer

（Ⅰ） （Ⅱ）见证明

【解析】

（Ⅰ）由题意可得，结合可求出，进而可求得椭圆的方程；（Ⅱ）设EF的方程为：，E（）、F（），与椭圆联立，运用韦达定理得，，又设，由三点共线得，，求出中点坐标，求出点M到直线EF的距离，进而证得结果.

（Ⅰ）∵当时，点E恰为线段AD的中点，

∴，又，联立解得：，，，

∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）设EF的方程为：，E（）、F（），

联立得：

∴，

∴……（*）

又设，由A、E、D三点共线得，同理可得.

，

∴.

设AB中点为M，则M坐标为（）即（ ），

∴点M到直线EF的距离.

故以AB为直径的圆始终与直线EF相切.