Question

如图所示，在四面体中，，平面平面，，且.

（1）证明：平面；

（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.

Answer

（1）见证明；（2）

【解析】

（1）根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，利用勾股定理得到，利用线面垂直的判定定理证得平面；

（2）设，利用椎体的体积公式求得 ，利用导数研究函数的单调性，从而求得时，四面体的体积取得最大值，之后利用空间向量求得二面角的余弦值.

（1）证明：因为，平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，

因为平面，所以.

因为，所以，

所以，

因为，所以平面.

（2）【解析】
设，则，

四面体的体积 .

，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

故当时，四面体的体积取得最大值.

以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，，.

设平面的法向量为，

则，即，

令，得，

同理可得平面的一个法向量为，

则.

由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.