Question

已知椭圆：过点，且它的焦距是短轴长的倍.

（1）求椭圆的方程.

（2）若，是椭圆上的两个动点（，两点不关于轴对称），为坐标原点，，的斜率分别为，，问是否存在非零常数，使当时，的面积为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在这样的常数，此时.

【解析】

（1）将点的坐标代入椭圆方程，结合和列方程组，解方程组求得椭圆的标准方程.（2）设直线的方程为和两点的坐标，将两点两点坐标代入，化简得到①.联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离公式和弦长公式求得三角形的面积的表达式，结合①解得和的值.

【解析】
（1）因为椭圆：过点，

所以，

又因为该椭圆的焦距是短轴长的倍，所以，从而.

联立方程组，解得，所以.

（2）设存在这样的常数，使，的面积为定值.设直线的方程为，点，点，则由知，，所以.①

联立方程组，消去得.

所以，

点到直线的距离，

的面积.④

将②③代入①得，

化简得，⑤

将⑤代入④得

，

要使上式为定值，只需，

即需，从而，此时，，

所以存在这样的常数，此时.