Question

已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）设，对任意都有成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）的极大值为，无极小值；（2）.

【解析】

（1）把代入，然后求出函数的定义域，对函数求导，结合导数与单调性的关系可求函数的极值，

（2）令，根据已知可转化为，结合导数进行求解．

（1）当时，，所以函数的定义域为，

所以，且，

令，

所以当时，，

所以.

又，

所以当时，，

所以在上单调递减，故.

同理当时，；

当时，，

所以在是单调递增，在单调递减，

所以当时，的极大值为，无极小值.

（2）令，

因为对任意都有成立，

所以.

因为，

所以.

令，即，解得；

令，即，解得.

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

因为，

所以，当时，

令，即，解得；令，即，解得.

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以，

所以，即实数的取值范围为.