Question

设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于M.N点.

（1）若，的面积为，求抛物线方程；

（2）若A.M.F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到直线n、m距离的比值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由抛物线的定义，以及圆的对称性可得为等边三角形，可由其高线求得边长，进而表达出面积，列方程解得即可求得抛物线方程.

（2）由A.M.F三点共线，可得直线斜率，和直线方程；根据直线n与C只有一个公共点，设出直线方程，联立抛物线方程，，可求得方程；据此利用点到直线距离公式求得距离之比.

（1）由对称性以及可知

是等边三角形.

又F点到MN的距离为，故，

由抛物线定义知：点A到准线l的距离

又.

故抛物线方程为：.

（2）由对称性设，则

点A，M关于点F对称，得，

得：，直线m斜率，

所以直线m方程为.

∵，设直线n方程为：，

又因为直线n与抛物线只有一个公共点，

所以，消去得，

由，得

直线，

坐标原点到n，m距离的比值为.