Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，为参数，在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

Ⅰ写出的普通方程和的直角坐标方程；

Ⅱ若与相交于A，B两点，求的面积．

Answer

（Ⅰ）x+y-3=0，x2+y2-4y=0（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用加减消元法，可以消去参数，得到的普通方程，

利用，可以把化成直角坐标方程；

（Ⅱ）把化成圆标准方程，求出圆心坐标、半径，利用点到直线距离公式，求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，最后求出面积。

【解析】
（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为，（t为参数），

∴C1的普通方程为x+y-3=0，

∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，

∴C2的直角坐标方程为x2+y2-4y=0．

（Ⅱ）原点O到直线x+y-3=0的距离为d=，

C2的标准方程为x2+（y-2）2=4，表示圆心为C2（0，2），半径r=2的圆，

C2到直线x+y-3=0的距离d2=，

∴|AB|=2=，

∴==．