湖北省黄冈中学08-09学年高二下学期期末考试（理）

一、选择题

1. 难度：简单

 设函数，若，则函数在上的最大值是（C）

    A．  B．  C．   D．0

2. 难度：简单

 下列命题中的真命题是（C）

A．如果，那么

B．如果，那么

C．如果，则

D．如果，那么

3. 难度：简单

 一位同学希望在暑假期间给他的4位好友每人发一条短信问候，为省下时间学习，他准备从手机草稿箱中直接选取已有短信内容发出．已知他手机草稿箱中只有3条适合的短信，则该同学共有不同的发短信的方法（D）

    A．种  B．种   C．种    D．种

4. 难度：中等

 设凸棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为，则（C）

    A． B．   C． D．

5. 难度：简单

 已知随机变量的总体密度曲线是函数的的图象，则下列结论正确的是（A）

    A．    B．

    C．     D．

6. 难度：简单

 的展开式中不含的项的系数之和为（A）

    A．   B． C．  D．1

7. 难度：中等

 某人作的8次射击中有4次命中目标，其中只有两次是连续命中的，则不同的射击结果有（C）

    A．60种 B．40种 C．30种 D．20种

8. 难度：中等

 若函数在区间上处处连续，则常数的值为（B）

    A．               B．                C．0           D．1  

9. 难度：简单

 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则（B）

    A．     B．

    C．     D．

10. 难度：中等

 数列中，N*，则（A）

    A．   B．   C．   D．

二、填空题

11. 难度：中等

 已知，若，则的最小正周期        _______________．

12. 难度：简单

 某机关老、中、青的人数分别为18、12、6，现从中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样抽取则不用剔除个体，如果容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除一个个体，则样本容量n=__________．

13. 难度：中等

 已知函数的反函数是，则___________．

14. 难度：中等

 已知，，与随机变量相关的三个概率的值分别是、和，则的最大值为________________．

15. 难度：简单

 对任意正整数定义双阶乘如下：当为偶数时，；当为奇数时，，现有如下四个命题：①；          

    ②；

    ③设，若的个位数不是0，则112；

    ④设（为正质数，为正整数），则；

    则其中正确的命题是_________________（填上所有正确命题的序号）．

三、解答题

16. 难度：中等

 设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求随机变量的期望与方差．

ξ	－1	0	1
P		1－2q	q^2

17. 难度：简单

 设二项式的展开式中第7项的系数与倒数第7项的系数之比是．

    （Ⅰ）求；

    （Ⅱ）展开式中有多少项的系数是有理数，指出它们分别是哪几项．

    本题考查二项式定理、二项式系数与系数的概念、二项式定理的通项的应用，属基本题

18. 难度：中等

 已知高二年级的某6名学生，独立回答某类问题时答对的概率都是0.5，而将这6名同学平均分为甲、乙、丙3个小组后，每个小组经过两名同学讨论后再回答同类问题时答对此类问题的概率都是0.7，若各个同学或各个小组回答问题时都是相互独立的．

    （Ⅰ）这6名同学平均分成3组，共有分法多少种？

    （Ⅱ）若分组后，3个小组中恰有2组能答对此类问题的概率是多少？

    （Ⅲ）若要求独立回答，则这6名学生中至多有4人能答对此类问题的概率是多少？

19. 难度：困难

 随着石油资源的日益紧缺，我国决定建立自己的石油储备基地，

已知某石油储备基地原储有石油吨，按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量均为上一年底储油量的25%，且每年年内用出吨，设为正式运营后第年年底的石油储量．

    （Ⅰ）求、、；

    （Ⅱ）猜测出的表达式并用数学归纳法予以证明；

    （Ⅲ）为抵御突发事件，该油库年底储油量不得少于吨，如果吨，该油库能否长期按计划运营？如果能，请加以证明；如果不能，请说明理由．

（计算中可供参考的数据：，）

20. 难度：困难

 已知，设，．

    （Ⅰ）求出函数的解析式；

    （Ⅱ）是否存在使得函数能以为其最小值？若能，求出对应的的取值或取值范围；若不能，试说明理由．

21. 难度：困难

 设函数，其图象对应的曲线设为G．

    （Ⅰ）设、、，为经过点（2，2）的曲线G的切线，求的方程；

    （Ⅱ）已知曲线G在点A、B处的切线的斜率分别为0、，求证：；

    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当时，恒成立，求常数的最小值．