2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点（　）

A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度

B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度

C.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度

D.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度

2. 难度：简单

已知集合，则集合的子集个数为（   ）

A.3 B.4 C.7 D.8

3. 难度：中等

已知角的终边经过点，则的值等于　　

A. B. C. D.

4. 难度：中等

函数的零点个数为

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

若f(x)=ln(x²-2ax+1+a)在区间上递减,则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

若,是第三象限的角,则（ ）

A.  B.  C. 2 D. -2

7. 难度：中等

已知函数（为自然对数的底数），若在上有解，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

非零向量满足：，，则与夹角的大小为

A.135° B.120°

C.60° D.45°

9. 难度：中等

古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与另一段的比例中项，即满足．后人把这个数称为黄金分割数，把点称为线段的黄金分割点.在中，若点为线段的两个黄金分割点，在内任取一点，则点落在内的概率为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

在中，，，点，分别是边，上的点，且，记，四边形的面积分别为，，则的最大值为（   ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（    ）

A. B.

C. D.

12. 难度：中等

已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知实数，是与的等比中项，则的最小值是______．

14. 难度：困难

已知函数，关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为__________．

15. 难度：困难

如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上的点,,

,,则_________

16. 难度：中等

已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为______．

三、解答题

17. 难度：中等

等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足．

Ⅰ求数列的通项公式；

Ⅱ设，，求数列的前n项和．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．

（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．

19. 难度：中等

己知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C交于A、B两点，点．

（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求的值．

20. 难度：中等

已知函数

（1）求函数的单调增区间；

（2）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．

21. 难度：中等

已知椭圆（）的焦距为2，离心率为，右顶点为.

（I）求该椭圆的方程；

（II）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线，的斜率之和为定值.

22. 难度：中等

如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．

(1)求证：平面ABE；

(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．

(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．