专题11.8 空间向量与立体几何（练）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》

一、解答题

1. 难度：中等

如图，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝，DE＝.

（1）求直线CA与平面BEF所成角的正弦值；

（2）在线段AF上是否存在点M，使得二面角M­BE­D的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

2. 难度：中等

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体.

若AD＝1，二面角C­AB­D的平面角的正切值为，求二面角B­AD­E的余弦值.

3. 难度：中等

如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝，E为CD的中点，点F在线段PB上.试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等.

4. 难度：中等

如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝5，过A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F.已知DE＝1，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，得空间几何体ADE­BCF，如图2.若DE∥CF，CD＝，在线段AB上是否存在点P，使得CP与平面ACD所成角的正弦值为？并说明理由.

5. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M为A₁C₁的中点，点N为AB₁上一动点.若点N为AB₁的中点且CM⊥MN，求二面角M­CN­A的正弦值.

二、填空题

6. 难度：困难

在正四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用表示)．

7. 难度：中等

如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为   .

三、解答题

8. 难度：中等

如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．

9. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

10. 难度：中等

如图，在直三棱柱中-A BC中，ABAC， AB=AC=2，=4，点D是BC的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求平面与所成二面角的正弦值．

11. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，点P，Q分别为A₁B₁，BC的中点．

（1）求异面直线BP与AC₁所成角的余弦值；

（2）求直线CC₁与平面AQC₁所成角的正弦值．

12. 难度：中等

    如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA₁＝，∠BAD＝120°.

(1)求异面直线A₁B与AC₁所成角的余弦值；

(2)求二面角B－A₁D－A的正弦值．

13. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；

（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值.

14. 难度：中等

如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1).

(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:

(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为60⁰C，求的值．

15. 难度：中等

如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为.

（1）当时，求的长；

（2）当时，求的长.