2020届湖南省长沙市高三月考（六）数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则的子集个数为（    ）

A.2 B.4 C.6 D.8

2. 难度：简单

若复数满足,其中为虚数单位,则=(　 　)

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知直线，其中，则“”是“”的

  （    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（    ）

A.第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天

5. 难度：中等

已知是双曲线（，）的左顶点，、分别为左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.与的取值有关

6. 难度：中等

的展开式中，的系数为  （    ）

A.240 B.241 C.-239 D.－240

7. 难度：简单

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（    ）

A. B.

C.10 D.12

8. 难度：中等

如图，在平行四边形中，点满足，与交于点，设，则（   ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

设，且，则的范围是（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：中等

已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（     ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

12. 难度：困难

已知只有50项的数列满足下列三个条件：①;②；③.对所有满足上述条件的数列共有个不同的值，则(    )

A.10 B.11 C.6 D.7

二、填空题

13. 难度：简单

曲线在点处的切线方程为_______

14. 难度：中等

当实数满足时,恒成立,则实数的取值范围是     .

15. 难度：中等

已知的内角的对边分别为.若，的面积为，则面积的最大值为_____.

16. 难度：困难

已知的外接圆圆心为O，，，若（为实数）有最小值，则参数的取值范围是______.

三、解答题

17. 难度：中等

在数1和100之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

18. 难度：困难

如图，在四棱锥中，，底面四边形为直角梯形，为线段上一点．

(1)若，则在线段上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．

(2)己知，若异面直线与成角，二面角的余弦值为，求的长．

19. 难度：中等

已知椭圆:的左、右焦点分别为,,上顶点为,离心率为,且的面积为.

（1）求椭圆的方程;

（2）过点的直线与椭圆交于,两点,且点,位于轴的同侧,设直线与轴交于点,,若,求直线的方程.

20. 难度：困难

超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：

（1）逐份检验，则需要检验n次；

（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.

（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；

（2）现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.

（i）试运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；

（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.

参考数据：，，，，

21. 难度：中等

已知函数（）．

（Ⅰ）若，恒有成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数有两个相异极值点，，求证：．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆的极坐标方程为,圆的直角坐标方程为.

（1）求与在第一象限的交点的极坐标;

（2）若点,分别为圆,上位于第一条限的点,且,求的取值范围.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）若对任意恒成立,求实数的取值范围；

（2）记函数的最小值为,若,且,证明:.