2020届江西名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若复数满足，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

设是等差数列的前项和,,,则公差

A. B. C.1 D.-1

4. 难度：简单

已知，则（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

函数的图象大致是( )

A. B. C. D.

6. 难度：简单

设满足约束条件，则的最大值是（   ）

A. -1 B. 0 C.  D. 2

7. 难度：简单

在中，，为的中点，则（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

若存在，使成立，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：困难

在直角坐标系中，是椭圆：的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为(  )

A. B. C. D.

10. 难度：困难

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，点M（-a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF₁F₂的面积分别为S₁，S₂，则=(   )

A.2

B.4

C.4

D.8

12. 难度：困难

设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则的取值范围是（   ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

若为定义在上的奇函数，当时，，则________.

14. 难度：简单

已知，则__________．

15. 难度：简单

已知函数只有一个零点，则___________.

16. 难度：困难

在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，且为等边三角形，若四棱锥的体积与四棱锥外接球的表面积大小之比为，则四棱锥的表面积为___________.

三、解答题

17. 难度：中等

的内角的对边分别为，已知.

（1）求；

（2）若，求的面积.

18. 难度：中等

某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：①以箱为基准，每多箱送箱；②通过双方议价，买方能以优惠成交的概率为，以优惠成交的概率为.

甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；

某单位需要这种零件箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？

19. 难度：中等

如图所示，在四面体中，，平面平面，，且.

（1）证明：平面；

（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.

20. 难度：困难

已知椭圆：过点，且它的焦距是短轴长的倍.

（1）求椭圆的方程.

（2）若，是椭圆上的两个动点（，两点不关于轴对称），为坐标原点，，的斜率分别为，，问是否存在非零常数，使当时，的面积为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

21. 难度：中等

已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）设，对任意都有成立，求实数的取值范围.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）.

（1）求和的普通方程；

（2）将向左平移后，得到直线，若圆上只有一个点到的距离为1，求.

23. 难度：中等

设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围．