2009-2010学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=x+（x＞0）的值域为（ ）
A．[2，+∞）
B．（2，+∞）
C．（0，+∞）
D．（-∞，-2]∪[2，+∞）

2. 难度：中等

如图，PAB、PC分别是圆O的割线和切线（C为切点），若PA=AB=3，则PC的长为（ ）

A．
B．6
C．
D．3

3. 难度：中等

双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

4. 难度：中等

已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使m∥α成立的一个充分条件是（ ）
A．m∥β，α∥β
B．m⊥β，α⊥β
C．m⊥n，n⊥α，m⊄α
D．m上有不同的两个点到α的距离相等

5. 难度：中等

先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，向量a-b等于（ ）
A．-4e₁-2e₂
B．-2e₁-4e₂
C．e₁-3e₂
D．3e₁-e₂

7. 难度：中等

某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（ ）
A．72种
B．54种
C．36种
D．18种

8. 难度：中等

点P在曲线C：+y²=1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：x=4于B点，满足|PA|=|PB|或|PA|=|AB|，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是（ ）
A．曲线C上的所有点都是“H点”
B．曲线C上仅有有限个点是“H点”
C．曲线C上的所有点都不是“H点”
D．曲线C上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H点”

二、填空题

9. 难度：中等

若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为     ．

10. 难度：中等

阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y值为，则输入的实数x值为    ．

11. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为    ．

12. 难度：中等

设关于x的不等式：x²-x＜2nx（n∈N^*）的解集中整数的个数为a_n，数列{a_n}的前n项的和为S_n，则S₁₀₀=    ．

13. 难度：中等

在区间[0，2]内随机的取两个数a，b，则函数f（x）=x²+ax+b²无零点的概率为    ．

14. 难度：中等

考虑以下数列a_n，n∈N^*：①a_n=n²+n+1；②a_n=2n+1；③．其中满足性质“对任意正整数n，都成立”的数列有    （写出满足条件的所有序号）；若数列a_n满足上述性质，且a₁=1，a₂₀=58，则a₁₀的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，b=5，△ABC的面积为．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求的值．

16. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；
（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积．

17. 难度：中等

已知函数（其中a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为，求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

18. 难度：中等

已知抛物线W：y=ax²经过点A（2，1），过A作倾斜角互补的两条不同直线l₁，l₂．
（Ⅰ）求抛物线W的方程及准线方程；
（Ⅱ）当直线l₁与抛物线W相切时，求直线l₂的方程
（Ⅲ）设直线l₁，l₂分别交抛物线W于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程．

19. 难度：中等

给定项数为m（m∈N^*，m≥3）的数列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一个正整数k（2≤k≤m-1），若数列{a_n}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{a_n}是“k阶可重复数列”，例如数列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0．因为a₁，a₂，a₃，a₄与a₄，a₅，a₆，a₇按次序对应相等，所以数列{a_n}是“4阶可重复数列”．
（Ⅰ）分别判断下列数列
①{b_n}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{c_n}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为m的数列{a_n}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
（Ⅲ）假设数列{a_n}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项a_m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a₄=1，求数列{a_n}的最后一项a_m的值．

20. 难度：中等