Question

如图1：P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点.

(1)请你在图2中利用作图确定M点和N点的位置，使得△PMN的周长最小（保留作图痕迹）；

(2)在图2中若△PMN周长的最小值是5 cm，则∠AOB的度数是多少？

图1                     

 

图2

Answer

（1）详见解析；（2）∠AOB=30°．

【解析】

(1) 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN即可;(2) 由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．

（1）

（2）分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，

分别交OA、OB于点M、N，连接PM、PN、MN，则△PMN的周长最小

连接OC、OD，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，

∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，

∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，

∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，

∵PN+PM+MN的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，

即CD=5=OP，

∴OC=OD=CD

即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，

∴∠AOB=30°．