Question

已知：如图，在中，度．是上一点，以为圆心、为半径的圆与交于点，与切于点，，．设是线段上的动点（与、不重合），． 

求的长；

求为何值时，以、、为顶点的三角形是等腰三角形；

在点的运动过程中，与的外接圆能否相切？若能，请证明；若不能，请说明理由；

请再提出一个与动点有关的数学问题，并直接写出答案．

Answer

（1）BE= 3；（2）当x等于2、、 时，△APD是等腰三角形；（3）PD与△PBC的外接圆不能相切，理由见解析；（4）答案不唯一，详见解析.

【解析】

（1）根据切线长定理即可解题；（2）根据不同的顶点分类讨论即可解题；（3）利用三边关系解题即可；（4）答案不唯一,见详解.

（1）∵AD与⊙O相切于点D，

∴AD2=AE•AB；

由AD=2，AE=1，得AB=4；

∴BE=AB-AE=3；

（2）①以A为顶角顶点时，AP1=AD=2，x=BP1=BA-P1A=2；

②以P为顶角顶点时，作AD的垂直平分线P2F交AB于P2；

连接OD，则OD⊥AD，且OD∥P2F；

∴P2A=OA=x=BA-P2A=；

③以D为顶角顶点时，DP3=DA=2，过D作DM⊥AB于M，则DM∥BC；

由BC2+AB2=（AD+DC）2，得BC=DC=3，AM=，AP3=2AM=，

∴x=BA-P3A=2AM=，

综上所述，当x等于2、、时，△APD是等腰三角形；

（3）PD与△PBC的外接圆不能相切；

理由：假设PD与△PBC的外接圆相切，

则PD⊥PC，

在Rt△PBC中，PC＞BC（直角三角形中，斜边大于直角边）

在Rt△PCD中，CD＞PC（直角三角形中，斜边大于直角边）

而BC=CD，与上面的矛盾，所以，不存在．

（4）答案不唯一，如：

①x为何值时，以P、D、A为顶点的三角形与△ABC相似；

答：当x=或时，以P、D、A为顶点的三角形与△ABC相似．

②当x为何值时，PD+PC的和最小；

答：当x=时，PD+PC的和最小．