Question

已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；
（2）当a=3，b=-9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．

Answer

（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）当a=3，b=-9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2-9x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k≤-3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h（-3）=28；-3＜k＜2时，函数h（x）在在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．
【解析】
（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g'（x）=3x2+b，k2=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=3，b=3．
（2）当a=3，b=-9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2-9x+1
则h′（x）=3x2+6x-9，令h'（x）=0，解得：x1=-3，x2=1；
∴k≤-3时，函数h（x）在（-∞，-3）上单调增，在（-3，2]上单调减，所以在区间[k，2]上的最大值为h（-3）=28
-3＜k＜2时，函数h（x）在在区间[k，2]上的最大值小于28
所以k的取值范围是（-∞，-3]