Question

（Ⅰ）已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C．
（i）求函数f（x）的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂（x₂，f（x₂））处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₁，S₂．则为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．

Answer

（Ⅰ）（i）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0解得的区间为增区间和fˊ（x）＜0解得的区间为减区间，注意单调区间不能并；
（ii）先求出点P1与点P2的横坐标的关系，再求定积分求出围成封闭图形的面积S1，利用同样的方法求出面积S2即可．
（Ⅱ）根据类似（Ⅰ）的命题方法进行求解，可知曲线C′与其在点P1（x1，g（x1））处的切线交于另一点P2（x2，g（x2）），再求出P3，从而进行求解；
【解析】
（Ⅰ）（i）由f（x）=x3-x得f′（x）=3x2-1=3（x-）（x+），
当x∈（-∞，-）和（，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（-，）时，f′（x）＜0，
因此，f（x）的单调递增区间为（-∞，-）和（，+∞），单调递减区间为（-，）；
（ii）曲线C与其在点P1处的切线方程为y=（3x12-1）（x-x1）+x13-x1，即
即y=（3x12-1）x-2x13，由；
解得x=x1或x=-2x1故x2=-2x1，
进而有S1=|（x3-3x13x+2x13）dx|=，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得
x3=-2x2和S2=，∴=；图形
（Ⅱ）类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：
若对于任意不等于的实数x1，曲线C′与其在点P1（x1，g（x1））处的切线交于另一点P2（x2，g（x2）），
曲线C′与其在点P2（x1，g（x1））处的切线交于另一点P3（x3，g（x1）），线段P1P2、P2P3与曲线C′所围成封闭
图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；
证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，
故可将曲线y=g（x）的对称中心（，g（））
平移至坐标原点，因而不妨设g（x）=ax3+hx，且x1≠0，类似（Ⅰ）（ii）的计算可得：S1=，S2=，故=；