Question

（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．

【解析】

（Ⅰ）因为，当在x轴上时，等号成立；同理，当重合，即轴时，等号成立． 所以椭圆C的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为

（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有．

（2）当直线的斜率存在时，设直线， 由消去，可得．因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即． ①

又由可得；同理可得．由原点到直线的距离为和，可得

． ②

将①代入②得，． 当时，；当时，．因，则，，所以，当且仅当时取等号．所以当时，的最小值为8．

综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．