2010年江苏省高考数学模拟试卷（一）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

复数z满足（3-4i）z=5+10i，则z=    ．

2. 难度：中等

已知集合M={-1，1}，，则M∩N=    ．

3. 难度：中等

若k∈R，则k＞3是方程-=1表示双曲线的    条件．

4. 难度：中等

已知α∈（0，），β∈（0，），sinα=，cos（α+β）=-，则sinβ的值为    ．

5. 难度：中等

先后拋掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x、y，则log_2xy=1的概率为    ．

6. 难度：中等

如图所示的流程图最后输出的n的值是    ．

7. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，S₆=36，S_n=324，S_n-6=144（n＞6），则n等于    ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立，则f（2010）的值为    ．

9. 难度：中等

随机抽查某中学高三年级100名学生的视力情况，得其频率分布直方图如图所示．已知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生人数为    人．

10. 难度：中等

已知A在不等式组所表示的平面区域上，点N在曲线x²+y²+4x+3=0上，那么|AN|的最小值是    ．

11. 难度：中等

设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
其中正确命题的序号为    ．

12. 难度：中等

有一广告气球，直径为6 m，如图所示，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角θ=2°，若θ的弧度数很小时，可取sinθ=θ，由此可估计该气球的高BC约为    ．

13. 难度：中等

已知椭圆的左焦点为F，左准线为l，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若，则=    ．

14. 难度：中等

奇函数y=f（x）的定义域为R，当x≥0时，f（x）=2x-x²，设函数y=f（x），x∈[a，b]的值域为，则b的最小值为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量=（a+c，b-a），=（a-c，b），且．
（1）求角C的大小；
（2）若，求角A的值．

16. 难度：中等

已知矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，使DB=2，O、H分别为AE、AB的中点．
（1）求证：直线OH∥面BDE；
（2）求证：面ADE⊥面ABCE．

17. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）当t为何值时，数列{a_n}为等比数列？
（2）在（1）的条件下，若等差数列{b_n}的前n项和T_n有最大值，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

18. 难度：中等

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且=．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+y+3=0相切，求椭圆C的方程．

19. 难度：中等

设函数f（x）=x⁴+bx²+cx+d，当x=t₁时，f（x）有极小值．
（1）若b=-6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间[m-2，m+2]上单调递增，求m的取值范围；
（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t₂∈（t₁，t₁+1），使f′（t₂）=0，证明：函数g（x）=f（x）-x²+t₁x在区间（t₁，t₂）内最多有一个零点．

20. 难度：中等

如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a＞）米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

21. 难度：中等

若点A（2，2）在矩阵M=，对应变换作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵．

22. 难度：中等

已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C₁：与曲线C₂：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．

23. 难度：中等

一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．
（1）写出甲总得分ξ的分布列；
（2）求甲总得分ξ的期望E（ξ）．

24. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；
（2）当a∈（0，]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

25. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA₁=b，点E，F分别在棱BB₁，CC₁上，且，．设．若平面AEF⊥平面A₁EF时，求λ的值．

26. 难度：中等

如图，已知抛物线M：x²=4py（p＞0）的准线为l，N为l上的一个动点，过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A，B，再分别过A，B两点作l的垂线，垂足分别为C，D．
求证：直线AB必经过y轴上的一个定点Q，并写出点Q的坐标．

27. 难度：中等

是否存在等差数列{a_n}，使a₁c_m+a₂c_m¹+a₃c_m²+…+a_n+1c_mⁿ=n•2^m对任意n∈N^*都成立？若存在，求出数列{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．