2011-2012学年广东省惠州市高三第二次调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={3，log₂a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A．{3，0}
B．{3，0，1}
C．{3，0，2}
D．{3，0，1，2}

2. 难度：中等

若（a+4i）i=b+i其中a，b∈R，i是虚数单位，则a-b=（ ）
A．3
B．5
C．-3
D．-5

3. 难度：中等

“|x|＜2”是“x²-x-6＜0”成立（ ）条件．
A．充分而不必要
B．必要而不充分
C．充要
D．既不充分也不必要

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₁=2，且有a₄a₆=4a₇²，则a₃=（ ）
A．
B．
C．1
D．2

5. 难度：中等

已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（ ）
A．=1.23x+4
B．=1.23x-0.08
C．=1.23x+0.8
D．=1.23x+0.08

6. 难度：中等

若（ax-1）⁵的展开式中x³的系数是80，则实数a的值是（ ）
A．-2
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

如图，在正方体AC₁中，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（ ）
A．点H是△A₁BD的垂心
B．AH的延长线经过点C₁
C．AH垂直平面CB₁D₁
D．直线AH和BB₁所成角为45°

8. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+2ax+4（0＜a＜3），若x₁＜x₂，x₁+x₂=1-a，则（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）=f（x₂）
C．f（x₁）＞f（x₂）
D．f（x₁）与f（x₂）的大小不能确定

二、填空题

9. 难度：中等

已知△ABC中，，B=45°，则角A等于    ．

10. 难度：中等

如图，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为    ．

11. 难度：中等

右面框图表示的程序所输出的结果是    ．

12. 难度：中等

若直线y=x-m与圆（x-2）²+y²=1有两个不同的公共点，则实数m的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知双曲线中心在原点，右焦点与抛物线y²=16x的焦点重合，则该双曲线的离心率为    ．

14. 难度：中等

曲线（θ为参数）与直线y=a有两个公共点，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC，则sin∠BCO=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（1）求该函数的最小正周期和最小值；
（2）若x∈[0，π]，求该函数的单调递增区间．

17. 难度：中等

某工厂2011年第一季度生产的A、B、C、D四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加四月份的一个展销会：
（1）问A、B、C、D型号的产品各抽取多少件？
（2）从A、C型号的产品中随机的抽取3件，用ξ表示抽取A种型号的产品件数，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（1）求证：BD⊥EG；
（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．

19. 难度：中等

数列的前n项和．
（1）求证：数列是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）如果{b_n}对任意恒成立，求实数k的取值范围．

20. 难度：中等

已知点P是圆上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称．线段PF₂的中垂线m分别与PF₁、PF₂交于M、N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为k的直线l与曲线C交于P，Q两点，若（O为坐标原点），试求直线l在y轴上截距的取值范围．

21. 难度：中等

已知二次函数y=g（x）的图象经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值，其中m＞n＞0，b＜a．
（1）求g（x）的二次项系数k的值；
（2）比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）；
（3）若m+n≤2，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f（x）均相切，求y=f（x）．