已知函数f(x)=λx2+λx,g(x)=λx+lnx,h(x)=f(x)+g(x),其中λ∈R,且λ≠0.
(1)当λ=-1时,求函数g(x)的最大值; (2)求函数h(x)的单调区间; (3)设函数若对任意给定的非零实数x,存在非零实数t(t≠x),使得φ′(x)=φ′(t)成立,求实数λ的取值范围. 公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知,.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn; (Ⅱ)记,若自然数η1,η2,…,ηk,…满足1≤η1<η2<…<ηk<…,并且成等比数列,其中η1=1,η2=3,求ηk(用k表示); (Ⅲ)记,试问:在数列{cn}中是否存在三项cr,cs,ct(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由. 扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为60°(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x(米),外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y(米).
(1)求y关于x的函数关系式,并指出其定义域; (2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x应在什么范围内? (3)当防洪堤的腰长x为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值. 已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)若∠APB=60°,试求点P的坐标; (2)若P点的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于C,D两点,当时,求直线CD的方程; (3)求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标. 如图,直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°AB=2AD=2CD=2.
(1)求证:AC⊥平面BB1C1C; (2)在A1B1上是否存一点P,使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行?证明你的结论. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列.
(1)若=-,b=,求a+c的值; (2)求2sinA-sinC的取值范围. 已知数列{an}(n∈N*)满足,且t<a1<t+1,其中t>2,若an+k=an(k∈N*),则实数k的最小值为 .
如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为椭圆E:+=1 (a>b>0)的左顶点,B,C在椭圆E上,若四边形OABC为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆E的离心率等于 .
已知直线kx-y+1=0与圆C:x2+y2=4相交于A,B两点,若点M在圆C上,且有(O为坐标原点),则实数k= .
曲线C:f(x)=sinx+ex+2在x=0处的切线方程为 .
函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则的最小值为 .
在等差数列{an}中,若an>0,公差d>0,则有a4•a6>a3•a7.类比此性质,在等比数列{bn}中,若bn>0,公比q>1,可得b6,b7,b4,b9之间的一个不等关系为 .
右图是一个算法的流程图,最后输出的n= .
点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧的长度小于1的概率为 .
已知一个三棱锥的所有棱长均相等,且表面积为,则其体积为 .
得到函数的图象,只需将函数y=sin2x的图象向左平移 个单位长度.
某校为了解高三同学寒假期间学习情况,抽查了100名同学,统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图(如图).则这100名同学中学习时间在6~8小时内的同学为 人.
在平面直角坐标系xOy中,“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的充要条件是k∈ .
已知复数Z的实部为1,虚部为-2,则的虚部为 .
集合,则A∩B=
已知函数(a∈R).
(Ⅰ)当时,讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设g(x)=x2-2bx+4.当时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b取值范围. 如图,某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”,其中AB长为定值a,BD长可根据需要进行调节(BC足够长).现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花,其余地方种草,且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值称为“草花比y”.
(Ⅰ)设∠DAB=θ,将y表示成θ的函数关系式; (Ⅱ)当BE为多长时,y有最小值,最小值是多少. 在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,D、E分别为AB、BC的中点,且•=•.
(1)求证:a2,b2,c2成等差数列; (2)求∠B及sinB+cosB的取值范围. 已知函数,其图象过点(,).
(1)求φ的值及y=f(x)最小正周期; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数PF2在[0,]上的最大值和最小值. 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26.{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)求an及Sn; (Ⅱ)令(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn. 平面向量,已知∥,,求的坐标及夹角.
已知{an}是首项为1的等比数列,sn是an的前n项和,且9s3=s6,则数列的前5项和为 .
已知,则= .
在△ABC中,A=15°,则sinA-cos(B+C)= .
已知复数z=1+i,则= .
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