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如图，E是矩形ABCD的边DC延长线上一点，连接AE分别交BC，BD于F，G． （1）图中有全等三角形吗？（对角线分矩形所得两个三角形除外）若有，请写出一对来；若没有，请添加一个条件（不添加辅助线和不改变图中字母），使得图中有全等三角形，并写出来； （2）图中有相似三角形吗？设矩形ABCD的周长为20，对角线长为2  ，求DE的长，使得你找出的一对相似三角形的相似比为2：3．
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阅读理【解析】 如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP•PC=AB•CD，解答下列问题． （1）模型探究：如图2，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：BP•PC=AB•CD； （2）拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=60°，AO⊥BC于点O，以O为顶点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合） （i）当∠APD=60°时，求点P的坐标； （ii）过点P作PE⊥PD，交y轴于点E，设PO=x，OE=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．  |
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在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60度． （1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明； （2）若直线l向右平移到图2，图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由； （3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PF=  PE？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母） 
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如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30° 操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q． 探究一：在旋转过程中， （1）如图2，当  时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当  时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当  时，EP与EQ满足的数量关系式为______，其中m的取值范围是______
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如图，在△ABD和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G （1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由； （2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？ 
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在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边BC边的中点O处（如图1），绕O点顺时针方向旋转，使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图2）．设BE=x，CF=y． （1）探究：在图2中，线段AE与CF之间有怎样的大小关系？试证明你的结论； （2）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处（如图3），绕O点顺时针方向旋转，其他条件不变． ①试写出y与x的函数解析式，以及x的取值范围； ②将三角尺绕O点旋转（如图4）的过程中，△OEF是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△OEF为等腰三角形时x的值；若不能，请说明理由． 
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如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E是AB的中点，且CE⊥DE． （1）请你判断△ADE与△BEC是否相似，并说明理由； （2）若AD=1，BC=2，求AB的长． 
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如图，已知矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B（4，3），反比例函数y= 图象与BC交于点D，与AB交于点E，其中D（1，3）．（1）求反比例函数的解析式及E点的坐标； （2）若矩形OABC对角线的交点为F，请判断点F是否在此反比例函数的图象上，并说明理由． 
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本题为选做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分． 甲题：关于x的一元二次方程x2+（2k-3）x+k2=0有两个不相等的实数根α、β． （1）求k的取值范围； （2）若α+β+αβ=6，求（α-β）2+3αβ-5的值． 乙题：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=  DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为4，求BG的长．  |
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有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30度． （1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由； （2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数； （3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？    |
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