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如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF=90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）． （1）若m=n时，如图，求证：EF=AE； （2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若m=tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF=（t+1）AE成立？并求出点E的坐标．  |
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如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时OA′、B′C′分别与直线BC相交于P、Q． （1）四边形OA′B′C′的形状是______，当α=90°时，  的值是______；（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求  的值；②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积； （3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=  BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．   
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如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E． （1）∠E=______度； （2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； （3）求弦DE的长． 
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如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F． （1）求证：△ACB∽△DCE； （2）求证：EF⊥AB． 
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在直角坐标系中，点A（5，0）关于原点O的对称点为点C． （1）请直接写出点C的坐标； （2）若点B在第一象限内，∠OAB=∠OBA，并且点B关于原点O的对称点为点D． ①试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； ②现有一动点P从B点出发，沿路线BA-AD以每秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．已知AB=6，设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，当动点Q在以PA为直径的圆上时，试求t的值？ 
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如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F． （1）求证：FD2=FB•FC； （2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由． 
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已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； （Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围； （Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，求此时点C的坐标． 
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如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E． （1）求证：△ABF∽△COE； （2）当O为AC的中点，  时，如图2，求 的值；（3）当O为AC边中点，  时，请直接写出 的值．
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如图，已知：在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是 上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．（1）求证：△ACH∽△AFC； （2）猜想：AH•AF与AE•AB的数量关系，并说明你的猜想； （3）探究：当点E位于何处时，S△AEC：S△BOD=1：4，并加以说明． 
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如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足 +|OA-1|=0．（1）求点A、点B的坐标； （2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 
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