2009年北京市宣武区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

直线的倾斜角是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

命题p：lgx＞lgy是命题q：的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知两个正数a、b的等差中项是5，则a²、b²的等比中项的最大值为（ ）
A．100
B．50
C．25
D．10

5. 难度：中等

已知a，b为直线，α，β，γ为平面，①a⊥α，b⊥α，则a∥b；②a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β；③γ⊥α，γ⊥β，则α∥β；④a⊥α，α⊥β，则a∥β．以上结论正确的是（ ）
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③

6. 难度：中等

要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是（ ）
A．C₉³C₅²
B．C₁₀³C₅²
C．A₁₀³A₅²
D．C₁₀⁴C₅²

7. 难度：中等

顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，AB=1，AA′=，则A、C两点间的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（ ）
A．f（1）与f（-1）
B．f（-1）与f（1）
C．f（-2）与f（2）
D．f（2）与f（-2）

二、解答题

9. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+|x-2|，则f（1）=    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，若∠B=60°，，BC=2，则AC=    ．

11. 难度：中等

（x+）⁹展开式中x³的系数是    ．（用数字作答）

12. 难度：中等

已知实数则该不等式组表示的平面图形的面积是    ；代数式（x-1）²+（y-2）²的最小值是    ．

13. 难度：中等

已知（n，a_n）（n∈N^*）是直线y=2x+1上的一点，数列{b_n}满足b_n=，S_n是数列{b_n}的前n项和，则S₁₀=    ．

14. 难度：中等

设O为坐标原点，给定一个点A（4，3），而点B（x，0）在x轴的正半轴上移动，l（x）表示线段AB的长，则△OAB中两边长的比值的最大值为     ．

15. 难度：中等

已知向量=（2cosωx，cos2ωx），=（sinωx，1）（其中ω＞0），令f（x）=，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）写出上的单调递增区间．

16. 难度：中等

甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
（I）至少有一人面试合格的概率；
（Ⅱ）没有人签约的概率．

17. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
（I）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（II）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的大小（结果用反三角函数值表示）．

18. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）设数列的前n项之和为T_n，求T_n．

19. 难度：中等

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的零点；
（Ⅱ）求函数y=f （x）在区间[1，2]上的最小值．

20. 难度：中等

椭圆C的中心坐标为原点O，焦点在y轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A．
（1）求椭圆方程；
（2）若的取值范围｡．