北京市2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

复数z，则|z|=(    )

A.1 B.2 C. D.2

2. 难度：中等

设分别是中所对边的边长，则直线与位置关系是（   ）

A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直

3. 难度：中等

已知下列三个命题：①若复数z₁，z₂的模相等，则z₁，z₂是共轭复数；②z₁，z₂都是复数，若z₁+z₂是虚数，则z₁不是z₂的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z.则其中正确命题的个数为(    )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

4. 难度：中等

椭圆y²=1的长轴为A₁A₂，短轴为B₁B₂，将坐标平面沿y轴折成一个锐二面角，使点A₁在平面B₁A₂B₂上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为(    )

A.30° B.45° C.60° D.arctan2

5. 难度：中等

已知两圆：，：，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为　　

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 (    )

A. B. C. D.

7. 难度：压轴

正四棱锥S—ABCD底面边长为2，高为1，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（    ）

A．  B．

C．   D．

8. 难度：中等

设点P为双曲线右支上的动点，过点P向两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，若点AB始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e的取值范围是(    )

A.（1，] B.（1，] C.[，+∞） D.[，+∞）

二、填空题

9. 难度：简单

若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值          ．

10. 难度：中等

已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于2，点E，F分别是边BC，AD的中点，则的值为_____.

11. 难度：中等

已知A（﹣1，0），B（1，0）两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若，当时，动点M的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线.

12. 难度：中等

过点的直线l与圆C：（x﹣1）²+y²＝4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为_____．

13. 难度：中等

斜率为的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为_____

14. 难度：中等

如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足|A₁P|的点P组成，则W的面积是_____；四面体P﹣A₁BC的体积的最大值是_____.

三、解答题

15. 难度：中等

已知复数z满足|z|，z的实部大于0，z²的虚部为2.

（1）求复数z；

（2）设复数z，z²，z﹣z²之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（）的值.

16. 难度：中等

如图在△AOB中，∠AOB=90°，AO=2，OB=1，△AOC可以通过△AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB⊥OC，点D为斜边AB的中点.

（1）求异面直线OB与CD所成角的余弦值；

（2）求直线OB与平面COD所成角的正弦值.

17. 难度：困难

已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥中：

    (I)证明：平面平面;

    (Ⅱ)求二面角的余弦值；

    (Ⅲ)若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围．

18. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy2=0，抛物线C：y²=2px（p＞0）.

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：线段PQ的中点坐标为；

②求p的取值范围.

19. 难度：困难

（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．