在平面直角坐标系xOy中，线段AB与y轴交于点F（0， ），直线AB的斜率为k，且满足|AF|•|BF|=1+k2．（1）证明：对任意的实数k，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程； （2）对（1）中的抛物线C，若直线l：y=x+m（m＞0）与其交于M、N两点，求∠MON的取值范围． |
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已知函数f（x）= （1）当  时，求f（x）的最大值；（2）设g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． |
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古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（n∈N*）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题： （1）写出a1，a2，a3，并求出an； （2）记bn=an+1，求和  （i，j∈N*）；（其中 表示所有的积bibj（1≤i≤j≤n）的和）证明：  ≤ + +…+ ＜ （n∈N*）．
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如图，设F是椭圆： （a＞b＞0）的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．（1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM=∠BFN； （3）（理）求三角形ABF面积的最大值． |
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已知函数f（x）的导数f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2． （Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程； （Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e2x，试判断函数F（x）的极值点个数． |
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已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a（Sn-an+1）（a为常数，a≠0，a≠1）． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=an2+Sn•an，若数列{bn}为等比数列，求a的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，  ，数列{cn}的前n项和为Tn．求证：Tn＞2n- ． |
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设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆 上的两点，已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），若 =0且椭圆的离心率e= ，短轴长为2，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． |
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已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e）其中e是自然常数，a∈R． （1）讨论a=1时，f（x）的单调性、极值； （2）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由． |
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函数 的反函数为f-1（x），数列{an}和{bn}满足： ，an+1=f-1（an），函数y=f-1（x）的图象在点（n，f-1（n））（n∈N*）处的切线在y轴上的截距为bn．（1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列  ；的项中仅 最小，求λ的取值范围；（3）令函数  ，0＜x＜1．数列{xn}满足： ，0＜xn＜1且xn+1=g（xn），（其中n∈N*）．证明：  ． |
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已知线段 ，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．（1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程； （2）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且OA⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值． |
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