本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)已知矩阵M=,,且, (Ⅰ)求实数a,b,c,d的值;(Ⅱ)求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程. (2)在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为. (Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B,若点P的坐标为, 求|PA|+|PB|. (3)已知函数f(x)=|x-a|. (Ⅰ)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. |
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已知函数f(x)=x3-x,其图象记为曲线C. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2(x2,f(x2))处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则为定值. |
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某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. |
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如图,圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O的直径. (1)证明:平面A1ACC1⊥平面B1BCC1; (2)设AB=AA1,在圆柱OO1内随机选取一点,记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为P.当点C在圆周上运动时,记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ(0°<θ≤90°),当P取最大值时,求cosθ的值. |
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已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆C的方程; (2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. |
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将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a,b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出的点数. (Ⅰ)若点P(a,b)落在不等式组表示的平面域的事件记为A,求事件A的概率; (Ⅱ)若点P(a,b)落在x+y=m(m为常数)的直线上,且使此事件的概率最大,求m的值及最大概率. |
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已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足: (1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立; (2)当x∈(1,2]时f(x)=2-x给出结论如下: ①任意m∈Z,有f(2m)=0; ②函数f(x)的值域为[0,+∞); ③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9; ④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z,使得(a,b)⊆(2k,2k-1). 其中所有正确结论的序号是 |
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已知函数和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同.若,则f(x)的取值范围是 . | |
某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 . | |
若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 . | |