专题20 数学归纳法及其证明-《巅峰冲刺2020年高考之二轮专项提升》

一、解答题

1. 难度：困难

已知数列满足：，

证明：当时，

（I）；

（II）；

（III）.

2. 难度：中等

（1）求的值;

（2）设,求证:.

3. 难度：困难

已知集合,设整除或整除,令表示集合所含元素的个数．

（1）写出的值;

（2）当时,写出的表达式,并用数学归纳法证明.

4. 难度：困难

已知函数f₀(x)＝ (x>0)，设f_n(x)为f_n－1(x)的导数，n∈N^*.

(1)求2f₁＋f₂的值；

(2)证明：对任意的n∈N^*，等式＝都成立．

5. 难度：中等

已知数列满足,且对任意,都有

成立.

（1）求的值;

（2）证明:数列是等差数列.

6. 难度：困难

已知函数,设,其中,方程和方程根的个数分别为．

（1）求的值;

（2）证明:.

7. 难度：困难

（1）用数学归纳法证明:当时， (且);

（2）求的值.

8. 难度：困难

已知数列{a_n}满足.

（1）用数学归纳法证明:;

（2）令,证明:.

9. 难度：困难

已知,,其中.

（1）求的值;

（2）记,求证:对任意的,总有.

10. 难度：中等

是否存在实数，使得等式对于一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

11. 难度：困难

对由和这两个数字组成的字符串,作如下规定:按从左向右的顺序,当第一个子串“”的最后一个所在数位是第(,且)位,则称子串“”在第位出现;再继续从第位按从左往右的顺序找子串“”,若第二个子串“”的最后一个所在数位是第位(其中且),则称子串“”在第位出现;……;如此不断地重复下去.如:在字符串中,子串“”在第位和第位出现,而不是在第位和第位出现.记在位由组成的所有字符串中,子串“”在第位出现的字符串的个数为.

（1）求的值;

（2）求证:对任意的正整数,是的倍数.

12. 难度：困难

设,为正整数,数列的通项公式,其前项和为

（1）求证:当n为偶数时,;当为奇数时,;

（2）求证:对任何正整数,.

13. 难度：中等

已知为整数,且,为正整数,,记.

（1）试用分别表示;

（2）用数学归纳法证明:对一切正整数均为整数.

14. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，点P(x₀，y₀)在曲线y＝x²(x＞0)上．已知A(0，－1)，，n∈N*．记直线AP_n的斜率为k_n．

（1）若k₁＝2，求P₁的坐标；

（2）若k₁为偶数，求证：k_n为偶数．

15. 难度：困难

已知数列,,且对任意n恒成立．

（1）求证:();

（2）求证:().

16. 难度：困难

已知均为非负实数,且.

证明:（1）当时,;

（2）对于任意的,.

17. 难度：困难

已知数列满足．

（1）求数列的通项公式;

（2）设数列的前项和为,用数学归纳法证明:.

18. 难度：困难

设,其中.

（1）当时,化简:;

（2）当时,记,试比较与的大小.

19. 难度：困难

在正整数集上定义函数,满足,且.

（1）求证:;

（2）是否存在实数使得任意正整数恒成立,并证明你的结论.

20. 难度：困难

记(且)的展开式中含项的系数为,含项的系数为.

（1）求;

（2）若,对n＝2,3,4成立,求实数的值;

（3）对（2）中的实数,用数学归纳法证明:对任意且都成立.